Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La respuesta al apartado (a) es negativa. Por ejemplo, los números $x=1$, $y=\frac{1}{2}$ y $z=\frac{3}{2}$ cumplen $x+y+z=3$, pero $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{11}{3}\gt 3$.

La respuesta al apartado (b) es afirmativa. Para verlo, usamos la desigualdad entre las medias aritmética y armónica aplicada a los tres números positivos $x,y,z$: \[\frac{3}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\leq \frac{x+y+z}{3}\leq 1\ \Longleftrightarrow\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3.\]