Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos a los lados del triángulo $a=AB$, $b=AC$ u $c=AB$, como es usual, y a la mediana $m=AM$. El teorema del seno aplicado al triángulo $ABC$, nos dice que \[\frac{a}{\mathrm{sen}(45)}=\frac{b}{\mathrm{sen}(105)}=\frac{c}{\mathrm{sen}(30)}\ \Longleftrightarrow\ \begin{cases}b^2=\frac{2+\sqrt{3}}{2}a^2\\c^2=\frac{1}{2}a^2.\end{cases}\] Aquí hemos usado un poco de trigonometría para calcular: \[\mathrm{sen}^2(105)=\cos^2(15)=\frac{1+\cos(30)}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\] y hemos usado los cuadrados para no tener que calcular la raíz cuadrada en la fórmula del coseno del ángulo mitad. Los cuadrados también están motivados por el hecho de que aparecen en la conocida fórmula para la mediana: \[m^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}=\left(\frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}}{2}-\frac{1}{4}\right)a^2=\frac{2+\sqrt{3}}{4}a^2.\] Con todo esto, tenemos la fórmula que buscamos, pues \[a^2b^2=\frac{2+\sqrt{3}}{2}a^4=4m^2c^2\ \Longleftrightarrow\ ab=2mc.\]

Para ver que el ángulo $x=\angle AMB$ es $45^\circ$, probaremos que su seno al cuadrado es $\frac{1}{2}$ (como $x\lt 90^\circ$, esto termina la demostración). Usando el teorema del seno en el triángulo $ABM$, tenemos que \begin{align*} \frac{c}{\mathrm{sen}(x)}=\frac{m}{\mathrm{sen}(105)}&\ \Longleftrightarrow\ \mathrm{sen}^2(x)=\frac{c^2\,\mathrm{sen}^2(105)}{m^2}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{2+\sqrt{3}}{4}}{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}=\frac{1}{2}. \end{align*}