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Problema 723
OME Local, 2005-P5
Cuatro bolas negras y cinco bolas blancas se colocan, en orden arbitrario, alrededor de una circunferencia. Si dos bolas consecutivas son del mismo color, se inserta una nueva bola negra entre ellas. En caso contrario, se inserta una nueva bola blanca. Se retiran las bolas negras y blancas previas a la inserción. Repitiendo el proceso, ¿es posible obtener nueve bolas blancas?
pistasolución 1info
Pista. ¿Qué ocurriría en el paso previo a que todas sean blancas?
Solución. Veamos que la respuesta es negativa por reducción al absurdo. Supongamos que tras un cierto número de pasos se llega a que todas sean blancas. En el paso previo todas las bolas tienen que tener alternadamente colores distintos, pero esto es imposible con un número impar de bolas.

Nota. Da igual el color de las bolas iniciales siempre que al menos una de ellas sea negra (si empezamos con todas blancas no hay nada que demostrar).

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