Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Podemos calcular directamente \begin{align*}P(\alpha^3)-P(\beta^3)&=3(\alpha^6-\beta^6)+3m(\alpha^3-\beta^3)\\ &=3(\alpha^3+\beta^3)(\alpha^3-\beta^3)+3m(\alpha^3-\beta^3)\\ &=3(\alpha^3-\beta^3)(\alpha^3+\beta^3+m) \end{align*} Como $\alpha\neq\beta$, tendremos que probar que $\alpha^3+\beta^3=-m$ y habremos terminado. Esto es un cálculo estándar de polinomios simétricos de las raíces del polinomio: \begin{align*} \alpha^3+\beta^3&=(\alpha+\beta)^3-3\alpha^2\beta-3\alpha\beta^2=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\\ &=(-m)^3-3\cdot\tfrac{m^2-1}{3}\cdot (-m)=-m^3+(m^3-m)=-m, \end{align*} donde hemos usado que conocemos la suma $\alpha+\beta=-m$ y el producto $\alpha\beta=\frac{m^2-1}{3}$ a partir de los coeficientes de $P(x)$ (relaciones de Cardano-Vieta).

Solución. Trabajando con la raíz $\alpha$, tenemos que $3\alpha^3+3m\alpha^2+(m^2-1)\alpha=0$, luego podemos multiplicar esta igualdad por $\alpha$ y despejar $\alpha^3$ como \[\alpha^3=-m\alpha^2+\tfrac{1-m^2}{3}\alpha=-m(\tfrac{1-m^2}{3}-m\alpha)+\tfrac{1-m^2}{3}\alpha=\tfrac{1+2m^2}{3}\alpha+\tfrac{m(m^2-1)}{3}.\] De esta manera, podemos evaluar (omitimos los cálculos de la simplificación): \begin{align*} P(\alpha^3)&=P(\tfrac{1+2m^2}{3}\alpha+\tfrac{m(m^2-1)}{3})\\ &=3(\tfrac{1+2m^2}{3}\alpha+\tfrac{m(m^2-1)}{3})^2+3m(\tfrac{1+2m^2}{3}\alpha+\tfrac{m(m^2-1)}{3})+m^2-1\\ &=\tfrac{(1+2m^2)^2}{9}(3a^2+3am+m^2-1)-\tfrac{1}{9}(m^6-3m^4-3m^2+8). \end{align*} Usando de nuevo que $\alpha$ es raíz, tenemos que $P(\alpha^3)=-\tfrac{1}{9}(m^6-3m^4-3m^2+8)$, pero el mismo cálculo vale para $\beta$ luego $P(\alpha^3)=P(\beta^3)$.

Nota. Aunque la otra solución propuesta es más elegante, hay trucos que permiten manipular potencias de las raíces de un polinomio con cierta fluidez. En una prueba de olimpiada puede preferirse un cálculo más largo si estamos convencidos de que así saldrá la solución frente a buscar opciones más elegantes.