Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El triángulo $ECB$ es isósceles ya que tiene dos de sus lados iguales a los lados del cuadrado $ABCD$. Como $\angle EBC=90-60=30$, tenemos que $\angle BEC=\angle ECB=75$ (para que los ángulos de este triángulo sumen $180$). Esto nos dice que $\angle DCE=90-75=15$, con lo que $\angle FCE=15+45=60$. Ahora bien, también tenemos que $\angle EPC=\angle APB=180-\angle PAB-\angle PBA=180-60-45=75$, luego $PCE$ es un triángulo isósceles. Tenemos así que $CP=EC$, pero también tenemos que $CP=CF$ por simetría, luego $CEF$ es equilátero por tener dos lados iguales que forman un ángulo igual a $60$. Hemos respondido así al apartado (a).

Que $CEF$ es equilátero implica que $EF=CE=DE$, ya que $CDE$ es claramente isósceles. Además, esto último nos dice que $\angle DEF=180-15-15=150$, con lo que $\angle DEF=150-60=90$. Tenemos entonces probado el apartado (b): $DEF$ es rectángulo e isósceles porque tiene dos lados iguales que forman un ángulo recto.

Ahora observamos que $\angle DEB=60+75=\angle FEB$, luego la recta $EB$ es la bisectriz interior del ángulo recto $\angle DEF$. Esta bisectriz es mediatriz del triángulo isósceles $DEF$, luego cualquier punto de $BE$ está a la misma distancia de $D$ que de $F$. En particular, el triángulo $BDF$ es isósceles y ya tenemos (c).

Tenemos que $PDF$ es isósceles por el mismo motivo, luego será suficiente ver que $\angle DFP=60$ y habremos terminado (hay realmente muchas formas de hacerlo). Como $\angle DBE=60-45=15$, tenemos que $\angle EBF=15$, luego también tenemos que $\angle FBC=90-45-15-15=15$. En otras palabras, $FB$ es bisectriz (y por tanto mediatriz) en el triángulo isósceles $CBE$, luego también lo es del triángulo equilátero $EFC$. Esto nos lleva a que $\angle EFB=\angle BFE=30$. Si trazamos ahora el segmento $PF$, que es paralelo a $BC$ por la simetría, tenemos que $\angle PFB=\angle CBF=15$ por ser ángulos internos alternos, luego $\angle DFP=45+15=60$ como queríamos probar.