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Problema 729
OME Local, 2005-P12
En un tablero de ajedrez $10\times 10$ se colocan $41$ torres. Probar que se pueden elegir al menos $5$ de ellas que no se ataquen entre sí.
pistasolución 1info
Pista. Si divides el tablero en 10 subconjuntos (de 10 casillas cada uno), entonces el principio del palomar te asegura que alguno de esos conjuntos tendrá cinco torres.
Solución. Numeramos las casillas del tablero del $0$ al $9$ siguiendo las diagonales: \[\begin{bmatrix} 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 1&2&3&4&5&6&7&8&9&0\\ 2&3&4&5&6&7&8&9&0&1\\ 3&4&5&6&7&8&9&0&1&2\\ 4&5&6&7&8&9&0&1&2&3\\ 5&6&7&8&9&0&1&2&3&4\\ 6&7&8&9&0&1&2&3&4&5\\ 7&8&9&0&1&2&3&4&5&6\\ 8&9&0&1&2&3&4&5&6&7\\ 9&0&1&2&3&4&5&6&7&8 \end{bmatrix}\] Al colocar $41$ torres, por el principio del palomar al menos cinco de ellas compartirán el número que hay en su casilla. Estas torres no se atacan entre sí ya que ningún número se repite en ninguna fila ni columna.
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