Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si $a$, $b$ y $c$ son los lados del triángulo, entonces los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, que denotaremos por $r$ y $R$, respectivamente, verifican las igualdades $S=rp$ y $abc=4RS$, donde $S$ es el área del triángulo y $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$ el semiperímetro. Utilizando la fórmula de Herón, podemos finalmente expresar $r$ y $R$ en función de las longitudes de los lados: \[r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}},\quad R=\frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}},\] La desigualdad que queremos demostrar es \[2r\leq R\ \Longleftrightarrow\ 8(p-a)(p-b)(p-c)\leq abc.\] Si hacemos el cambio $a=x+y$, $b=y+z$, $c=x+z$, para $x,y,z$ positivos, entonces resulta $p-a=z$, $p-b=x$ y $p-c=y$. La desigualdad anterior se escribe ahora como \[8xyz\leq(x+y)(y+z)(x+z)\] para todo $x,y,z\gt 0$. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica nos da \[2\sqrt{xy}\leq x+y,\quad 2\sqrt{yz}\leq y+z,\quad 2\sqrt{xz}\leq x+z,\] y basta multiplicar estas tres desigualdades para llegar al resultado.

Nota. Este no es un problema actual de olimpiada ya que apela a un resultado conocido como la desigualdad de Euler. De hecho, en la solución oficial, se menciona solamente que es consecuencia del teorema de Euler que nos dice que la distancia entre el incentro y el circuncentro de cualquier triángulo es $IO^2=R(R-2r)$.