Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si $p$ es un número primo distinto de $2$ y $5$, entonces es primo relativo con $10$, luego el teorema pequeño de Fermat nos asegura que $10^{p-1}\equiv 1\ (\text{mod }p)$. En otras palabras, el número $10^{p-1}-1$, que se escribe solo con nueves, es múltiplo de $p$ y también de $9$. Distinguimos dos casos:

• Si $p\neq 3$, entonces $\frac{10^{p-1}-1}{9}$ se escribe sólo con unos y es múltiplo de $p$.
• Si $p=3$, basta tomar $111=3\cdot 37$.