Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $p_X$ a las probabilidad de ganar si caemos en la casilla $X$ después de una cierta jugada (esto no depende de en qué momento del juego caigamos en $X$). Aunque es difícil calcular directamente cada una las probabilidades $p_S,p_A,p_B,p_C,p_D,p_G$, podemos obtener relaciones entre ellas utilizando la conexión entre casillas y que pasar de una a las adyacentes es equiprobable. Concretamente, tenemos que \[\left\{\begin{array}{l} p_S=0\\ p_A=\frac{1}{3}p_S+\frac{1}{3}p_D+\frac{1}{3}p_C\\ p_B=\frac{1}{3}p_C+\frac{1}{3}p_D+\frac{1}{3}p_G\\ p_C=\frac{1}{2}p_A+\frac{1}{2}p_B\\ p_D=\frac{1}{2}p_A+\frac{1}{2}p_B\\ p_G=1\end{array}\right.\] Este es un sistema lineal de 6 ecuaciones con 6 incógnitas, aunque bastante simple ya que sabemos dos de ellas: $p_S=0$ y $p_G=1$. Además, tenemos claramente que $p_C=p_D=\frac{1}{2}(p_A+p_B)$, luego podemos escribir un sistema con solo las incógnitas $p_A$ y $p_B$: \[\left\{\begin{array}{l} p_A=\frac{1}{3}p_A+\frac{1}{3}p_B\\ p_B=\frac{1}{3}p_A+\frac{1}{3}p_B+\frac{1}{3} \end{array}\right.\] Se resuelve fácilmente dando $p_A=\frac{1}{3}$ y $p_B=\frac{2}{3}$. Por tanto, como en la primera jugada partiendo de $S$ caemos en la casilla $A$, la probabilidad de ganar el juego será $p_A=\frac{1}{3}$.

Nota. Este método, que puede parecer un poco sofisticado y mágico la primera vez que se ve, es el fundamento de lo que se conoce en teoría de la probabilidad como cadenas de Markov. Calcular directamente $p_A$ intentando entender el árbol de posibilidades es muy complejo.