Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que los números están ordenados como $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_{100}$. No es difícil darse cuenta de que el triángulo en el que todo puede ir peor es el de lados $a_1,a_1,a_{100}$. La desigualdad triangular nos dice que debe cumplirse $a_{100}\lt 2a_1$, pero para que el triángulo no sea obtusángulo debe cumplirse la desigualdad más restrictiva $a_{100}^2\leq 2a_1^2$ (véase la nota). Por tanto, la cadena de desigualdades queda \[a_1\lt a_2\lt a_3\lt\ldots\lt a_{100}\leq \sqrt{2}\,a_1.\qquad (\star)\] Que se cumplan estas desigualdades es también suficiente para que los cien números cumplan la propiedad del enunciado. En efecto, dados tres números $a_i\leq a_j\leq a_k$, usando ($\star$), tenemos que: \begin{align*} a_i+a_j&\geq \tfrac{1}{\sqrt{2}}a_k+\tfrac{1}{\sqrt{2}}a_k=\sqrt{2}\,a_k\gt a_k,\\ a_i^2+a_j^2&\geq \tfrac{1}{2}a_k^2+\tfrac{1}{2}a_k^2= a_k^2. \end{align*} Tenemos así tanto la desigualdad triangular como la condición de no obtusángulo (véase la nota).

A la hora de calcular los perímetros, tenemos que hay $100$ elecciones para $a$, $100$ para $b$ y $100$ para $c$ de forma independiente (nos dicen que elijamos tres números ordenados del conjunto), luego hay $100^3=10^6$ posibilidades para la terna $(a,b,c)$, lo que nos da $3\cdot 10^6$ lados de triángulos. Como cada uno de los elementos $a_1,\ldots,a_{100}$ se usa el mismo número de veces, tendremos que usar $3\cdot 10^4$ veces cada uno de ellos y será $S(A)=3\cdot 10^4\cdot (a_1+a_2+\ldots+a_{100})$. Como entre $a_1$ y $\sqrt{2}a_1$ deben caber otros $99$ enteros distintos, ha de cumplirse que $a_1\sqrt{2}\geq a_1+99$, o equivalentemente $a_1\geq\frac{99}{\sqrt{2}-1}\approx 239.007$. El valor mínimo de $S(A)$ se obtiene tomando $a_1=240$, $a_2=241$,... y así hasta $a_{100}=339$. Esto nos da el valor mínimo \begin{align*} S(A)&=3\cdot 10^4\cdot (240+241+\ldots+339)\\ &=3\cdot 10^4\cdot (100\cdot 240+1+\ldots+99)\\ &=30000\cdot (24000+\tfrac{99\cdot 100}{2})=868500000. \end{align*}

Nota. En un triángulo de lados $a,b,c$, el ángulo $\alpha$ opuesto al lado $a$ verifica la siguiente igualdad por el teorema del coseno: \[a^2=b^2+c^2-2bc\cos(A)\ \Longleftrightarrow\ \cos(A)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.\] El ángulo es obtuso cuando su coseno es negativo, luego no será obtusángulo cuando $b^2+c^2\geq a^2$. Esta es la desigualdad que hemos aplicado al triángulo de lados $a_1,a_1,a_{100}$, teniendo en cuenta que el ángulo más grande es el opuesto al lado más grande, $a_{100}$.