Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Por reducción al absurdo, supongamos que hemos conseguido ensamblar un círculo $C$ con más de una de las piezas recortadas. Entonces, su circunferencia $\Gamma$ tiene que estar formada por arcos de los círculos originales y, en particular, habrá algún punto $P\in\Gamma$ en donde lleguen piezas $\Omega_1,\ldots,\Omega_n$ con $n\geq 2$. Estas piezas deben tener un vértice en $P$ y dos arcos que lleguen a $P$. Esto nos dice que existen arcos de circunferencia $\Gamma_0,\Gamma_1,\ldots,\Gamma_n$ interiores a $C$, con extremo en $P$ y de forma que $\Gamma_k$ y $\Gamma_{k+1}$ están en la frontera de $\Omega_k$. Como quiera que $\Gamma_0$ y $\Gamma_n$ son parte de $\Gamma$, estos son arcos convexos en la frontera de $\Omega_0$ y $\Omega_n$. Cuando vamos recorriendo los arcos desde $\Gamma_0$ a $\Gamma_n$, debe haber dos consecutivos que encierren una región convexa (ya que $\Gamma_0$ y $\Gamma_n$ se curvan en distintas direcciones). Esto nos dice que la pieza $\Omega_k$ que tiene frontera esos arcos tiene un vértice en donde llegan dos arcos convexos, pero esto no puede ocurrir ya que hemos descartado las piezas solapadas por hipótesis y en todos los vértices de una pieza no solapada llegan dos arcos cóncavos o bien uno cóncavo y otro convexo.