Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El procedimiento es similar al que usamos para hallar el máximo común divisor de dos polinomios. Llamemos $p(x)$ y $q(x)$ a los dos polinomios de tercer grado dados por las ecuaciones. Podemos reducir el grado haciendo \[q(x)-n\,p(x)=-2 m(m^2+m x^2+3 n x).\] Por tanto, la raíz común también tiene que ser raíz de $r(x)=m^2+m x^2+3 n x$ ya que $m\neq 0$. Esta raíz también tiene que ser raíz de \[x\, r(x)-m\,p(x)=n(3x^2+m).\] Como quiera que $n\neq 0$, deducimos que $m$ es negativo y que la raíz común $\alpha$ debe cumplir $3\alpha^2+m=0$. Podemos usar esto para sustituir $m$ en la primera ecuación, que nos queda \[x^3+mx-n=0\ \Longrightarrow\ \alpha^3-3\alpha^3-n=0 \ \Longrightarrow\ n=-2\alpha^3.\] Con esto ya podemos factorizar los dos polinomios: \begin{align*} p(x)&=x^3-3\alpha^2x+2\alpha^3=(x-\alpha)^2(x-2\alpha),\\ q(x)&=-2\alpha^3(x^3+9 \alpha x^2+15 \alpha ^2 x-25 \alpha ^3)=(x-\alpha) (x+5\alpha)^2, \end{align*} La idea para estas factorizaciones es dividir por $\alpha^3$ y ver las ecuaciones $p(x)=0$ y $q(x)=0$ como ecuaciones con incógnita $y=\frac{x}{\alpha}$. Deducimos que la primera ecuación tiene una raíz doble igual a $\alpha$ y la otra raíz igual a $2\alpha$ (es distinta ya que $\alpha\neq 0$). La segunda ecuación tiene a $\alpha$ como raíz simple y a $-5\alpha$ como raíz doble.

Nota. Si $n=0$ y $m\neq 0$, entonces la primera ecuación tiene soluciones $x=0$ y $x=\pm\sqrt{m}$ y la segunda ecuación es de segundo grado y tiene soluciones $x=\pm\sqrt{m}$, por lo que el resultado no es cierto (hay dos raíces comunes). Si $n\neq 0$ y $m=0$, entonces la primera ecuación y la segunda son la misma y tienen como única raíz real común $x=\sqrt[3]{n}$, aunque también comparten las otras dos raíces complejas. En este caso, no es cierto que la primera ecuación tenga dos raíces iguales.