Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamamos $a=BC$, $b=AC$ y $c=AB$ por comodidad. Utilizando la fórmula para la longitud de las medianas $m_b$ y $m_c$ y que $GC=\frac{2}{3}m_c$ y $GB=\frac{2}{3}m_b$ (el baricentro está al doble de distancia de un vértice que del punto medio del lado opuesto), tenemos que \begin{align*} AB+GC=c+\frac{2}{3}m_c=c+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}},\\ AC+GB=b+\frac{2}{3}m_b=b+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}}.\\ \end{align*} La igualdad a probar se reduce a la siguiente: \[\frac{3}{2}(c-b)=m_b-m_c.\] Sin embargo, podemos multiplicar por la expresión conjugada para obtener también \begin{align*} \frac{3}{2}(c-b)&=\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}}-\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}\\ &=\frac{\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\right)-\left(\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\right)}{\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}}=\frac{\frac{3}{4}(c^2-b^2)}{m_b+m_c}. \end{align*} Razonemos por reducción al absurdo suponiendo que no se cumple que $b=c$. En tal caso, podemos simplificar el factor común $c-b$ y despejar $m_b+m_c=\frac{1}{2}(b+c)$. Junto con la condición $\frac{3}{2}(c-b)=m_b-m_c$, podemos despejar $m_b=c-\frac{b}{2}$ y $m_c=b-\frac{c}{2}$. Esto contradice la desigualdad triangular en los triángulos $AMC$ y $ANB$, siendo $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, respectivamente. Por lo tanto, tiene que ser $b=c$ y el triángulo es isósoceles.