Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Podemos suponer que $a\geq 0$ cambiando $f(x)$ de signo y también que $b\geq 0$ cambiando $x$ de signo (si fuera necesario). Como tenemos valores absolutos y simetría en los valores $0$ y $\pm 1$, esto no afecta al problema. Entonces, $f(x)$ es una parábola que tiene su vértice en los reales negativos (o también podría ser una recta si $a=0$, pero en ese caso se tiene claramente $|f(x)|\leq 1\lt\frac{5}{4}$). Vamos a usar ahora que si prefijamos los valores de $f(-1)$, $f(0)$ y $f(1)$ arbitrariamente, la parábola $f(x)$ está unívocamente determinada. Se cumple entonces que $f(x)$ decrece para todo $x\in (-1,0)$ en cualquiera de las siguientes situaciones:

• Cuando decrece $f(0)$ mientras se fijan $f(-1)$ y $f(1)$.
• Cuando crece $f(1)$ mientras se fijan $f(-1)$ y $f(0)$.
• Cuando decrece $f(-1)$ mientras se fijan $f(0)$ y $f(1)$.

Por tanto, la parábola que toma los menores valores de $(-1,0)$ es aquella que cumple $f(-1)=f(0)=-1$ (mínimo posible) y $f(1)=1$ (máximo posible). Se obtiene fácilmente que esta parábola es $f(x)=x^2+x-1=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}$, lo que prueba que $f(x)\geq\frac{-5}{4}$ en $[-1,1]$ y hemos respondido así a la primera pregunta.

En cuanto a $g(x)$, comenzamos observando que \[g(x)=x^2(\tfrac{a}{x^2}+\tfrac{b}{x}+c)=x^2f(\tfrac{1}{x}).\] Por lo tanto, para acotar superiormente $|g(x)|$ en $[-1,1]$, tendremos que acotar inferiormente $|f(x)|$ en $(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$. Podemos seguir suponiendo que $a,b\geq 0$, luego $f(x)\geq f(-x)$ para $x\geq 1$ y solo debemos fijarnos en el caso $x\geq 1$. Un razonamiento similar al descrito más arriba nos dice que $f(x)$ crece para $x\in [1,+\infty)$ en cualquiera de las siguientes situaciones:

• Cuando decrece $f(0)$ mientras se fijan $f(-1)$ y $f(1)$.
• Cuando crece $f(1)$ mientras se fijan $f(-1)$ y $f(0)$.
• Cuando crece $f(-1)$ mientras se fijan $f(0)$ y $f(1)$.

Por tanto, la parábola que tiene mayor valor posible debe cumplir que $f(-1)=f(-1)=1$ (máximo posible) y $f(0)=-1$ (mínimo posible). Esto nos da el caso óptimo $f(x)=x^2-2$. En resumen, para $x\in[-1,1]$, se tiene que \[|g(x)|=x^2|f(\tfrac{1}{x})|\leq x^2f(\tfrac{1}{|x|})\leq x^2(2\tfrac{1}{|x|^2}-1)=2-x^2\leq 2.\]

Nota. La igualdad $|f(x)|=\frac{5}{4}$ sólo se alcanza en los siguientes casos: para los polinomios $f(x)=x^2+x-1$ y $f(x)=-x^2-x+1$ en $x=\frac{-1}{2}$ y para los polinomios $f(x)=x^2-x+1$ y $f(x)=-x^2+x-1$ en $x=\frac{1}{2}$. La igualdad $|g(x)|=2$ se alcanza sólo para los polinomios $g(x)=x^2-2$ y $g(x)=2-x^2$ en $x=0$.