Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $n$ puntos distintos $P_1, P_2,\ldots, P_n$ sobre una recta del plano ($n\geq 2$). Se consideran las circunferencias de diámetro $P_iP_j$, con $1\leq i \lt j \leq n$ y coloreamos cada una de ellas con uno de $k$ colores dados. Llamamos $(n,k)$-nube a esta configuración.

Para cada entero positivo $k$, determinar todos los $n$ para los cuales se cumple que toda $(n,k)$-nube contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color.

Nota: Para evitar ambigüedades, los puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.