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Problema 758
OIM, 2001-P1
Decimos que un número natural $n$ es charrúa si satisface simultáneamente las siguientes condiciones:
  • Todos los dígitos de $n$ son mayores que $1$.
  • Siempre que se multipliquen cuatro dígitos de $n$ se obtiene un divisor de $n$.
Demostrar que para cada número natural $k$ existe un número charrúa con más de $k$ dígitos.
pistasolución 1info
Pista. Usar números formados únicamente por nueves.
Solución. Como $10$ es primo relativo con $9^4$, el teorema de Euler nos asegura que $n=\varphi(9^4)=\varphi(3^8)=2\cdot 3^7$ verifica que $10^n\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 9^4)$. Entonces, $10^n-1$ es un número formado únicamente por nueves que es múltiplo de $9^4$, luego es charrúa. También es charrúa el número $10^{bn}-1$ para todo entero positivo $b$ ya que $10^{bn}=(10^{n})^b\equiv 1^b=1\ (\mathrm{mod}\ 9^4)$. Como $10^{bn}-1$ tiene $bn$ dígitos, obtenemos de este modo números charrúas con tantos dígitos como queramos.

Nota. Hemos usado la función de Euler $\varphi(n)$ que devuelve el número de enteros entre $1$ y $n$ que son primos relativos con $n$.

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