Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. En efecto, tenemos que \(p_1=2\), \(p_2=3\) y todos los \(p_n\) son primos entre sí por la condición de que \(p_n\) divide a \(p_1p_2\cdots p_{n-1}+1\). Por tanto, si existe \(n\) tal que \(p_n=5\), entonces \(p_1p_2\cdots p_{n-1}+1\) tiene que ser una potencia de \(5\), es decir, existe \(a\in\mathbb{N}\) tal que \(p_1p_2\cdots p_{n-1}=5^a-1\), pero el término de la derecha es múltiplo de \(4\) y el de la izquierda no (ya que \(p_1=2\) y todos los demás factores son impares) luego tenemos una contradicción, tal y como deseábamos.