Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Teniendo en cuenta que $x_0^2+a_ix_0+b_i=0$ para todo $i$, podemos sumar estas $n$ igualdades (para $i$ entre $1$ y $n$) y nos queda \[nx_0^2+(a_1+a_2+\ldots+a_n)x_0+(b_1+b_2+\ldots+b_n)=0.\] Dividiendo por $n$, concluimos que $x_0$ también es solución de la ecuación con las medias aritméticas. Para calcular la otra solución, vamos a dividir el polinomio \[P(x)=x^2+\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}x+\frac{b_1+b_2+\ldots+b_n}{n}\] entre $x-x_0$ (esto es muy fácil usando Ruffini), lo que nos da \[P(x)=(x-x_0)(x+\tfrac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}+x_0)\] Si llamemos $x_i$ a la otra solución de la ecuación $x^2+a_ix+b_i=0$ que no es $x_0$, tenemos que $a_i=-(x_0+x_i)$ con lo que la otra raíz de $P(x)$ es \begin{align*} -\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}-x_0&=\frac{x_1+x_0+x_2+x_0+\ldots+x_n+x_0}{n}-x_0\\ &=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}, \end{align*} es decir, la media aritmética de las raíces de las ecuaciones originales.