Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Más abajo se puede ver una representación gráfica de las funciones $|x-1|$ (en rojo) y $ax$ (en azul), para distintos valores de $a$. Como las dos semirrectas que forman la gráfica de $|x-1|$ tienen pendiente $\pm 1$, se ve a priori que las soluciones de la ecuación formarán un intervalo no vacío abierto y acotado para $0\lt a\lt 1$, una semirrecta abierta para $a\gt 1$ o $a\lt -1$ no habrá soluciones para $-1\leq a\leq 0$. Con esto en mente, sólo hay que calcular los puntos de corte de $ax$ con $x-1$ y $1-x$ den función del parámetro $a$, lo que nos da los siguientes resultados (¡compruébalos!):

• Si $a\lt -1$, las soluciones son los puntos de la semirrecta $(-\infty,\frac{1}{1+a})$.
• Si $-1\leq a\leq 0$, entonces no hay soluciones.
• Si $0\lt a\lt 1$, las soluciones son los puntos del intervalo $(\frac{1}{1+a},\frac{1}{1-a})$.
• Si $a\geq 1$, las soluciones son los puntos de la semirrecta $(\frac{1}{1+a},+\infty)$.

La única forma de que el intervalo de soluciones contenga únicamente dos enteros es que $a\lt 0\lt 1$. En tal caso, tenemos el intervalo $I=(\frac{1}{1+a},\frac{1}{1-a})$, que está contenido en los reales positivos y siempre contiene a $1$, luego queremos saber cuándo $2\in I$ pero $3\not\in I$. Resolviendo las ecuaciones $\frac{1}{1-a}=2$ y $\frac{1}{1-a}=3$, obtenemos que el extremo superior de $I$ es $2$ para $a=\frac{1}{2}$ y este extremo es $3$ para $a=\frac{2}{3}$. Como este extremo superior es estrictamente creciente en $a$, llegamos a que la solución al apartado (b) son los valores de $a$ en el intervalo $(\frac{1}{2},\frac{2}{3}]$. Obsérvese que el intervalo es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha puesto que $I$ es abierto y no contiene a sus extremos.