Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Podemos transformar la ecuación dada como sigue: \begin{align*} \frac{a^2b^2}{a^4-2b^4}=1&\ \Longleftrightarrow\ a^2b^2=a^4-2b^4\\ &\ \Longleftrightarrow\ a^4-a^2b^2-2b^4=0\\ &\ \Longleftrightarrow\ \left(\tfrac{a}{b}\right)^4-\left(\tfrac{a}{b}\right)^2-2=0. \end{align*} En el último paso, hemos dividido por $b^4$ de forma que obtenemos una ecuación bicuadrática en la incógnita $\frac{a}{b}$. Usando la fórmula para la ecuación de segundo grado, tenemos que \[\frac{a^2}{b^2}=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{1\pm 3}{2}=2.\] Nos hemos quedado con la solución positiva puesto que $\frac{a^2}{b^2}$ no puede ser negativo. Con esto nos basta para hallar el único valor posible de la expresión dada puesto que \[\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=\frac{\frac{a^2}{b^2}-1}{\frac{a^2}{b^2}+1}=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}.\]

Nota. Este argumento nos dice que todos los números reales que cumplen la condición dada son los que cumplen $a^2=2b^2$, es decir $a=\pm\sqrt{2}b$. Observemos que, para estos números, no se anula el denominador $a^4-2b^4$.