Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La primera parábola se puede expresar completando el cuadrado como \[y=ax^2+bx+c=\frac{(2ax+b)^2+(4ac-b^2)}{4a},\] de forma que su vértice tiene coordenadas $(x,y)=(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$ ya que este es el punto en el que el cuadrado toma su mínimo valor (cero). De la misma forma, el vértice de la segunda parábola tiene coordenadas $(\frac{-c}{2b},\frac{4ab-c^2}{4b})$, por lo que se tienen que verificar simultáneamente las siguientes dos ecuaciones: \[\frac{-b}{2a}=\frac{-c}{2b},\qquad c-\frac{b^2}{4a}=a-\frac{c^2}{4b}.\qquad(\star)\] La primera ecuación nos dice que $c=\frac{b^2}{a}$, luego podemos sustituir en la segunda para transformarla después de simplificar en \[\frac{b^2}{a}-\frac{b^2}{4a}=a-\frac{b^3}{4a^2}\ \Leftrightarrow\ 4a^3-3ab^2-b^3=0\ \Leftrightarrow\ (b-a)(2a+b)^2=0.\] Como $a\neq b$, deducimos que $b=-2a$, luego $c=\frac{b^2}{a}=4a$. Tenemos así que las parábolas que las ternas que resuelven el problema tienen que ser de la forma $(a,-2a,4a)$ para cualquier $a\neq 0$. Fácilmente se ve que todas estas cumplen las ecuaciones marcadas con $(\star)$.