Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si consideramos las nuevas variables $s=x+y$ y $p=xy$ (suma y producto), el sistema se puede reescribir como \[\left\{\begin{array}{l}s^2-3p=7,\\sp=-2.\end{array}\right.\] Despejamos $p=\frac{s^2-7}{3}$ en la primera ecuación y sustituimos en la segunda para obtener $(s^2-7)s=-6$ o, lo que es lo mismo, $s^3-7s+6=0$. Por Ruffini obtenemos rápidamente la factorización $s^3-7s+6=(s-1)(s-2)(s+3)$, lo que nos da tres posibilidades:

• Si $s=1$, entonces $p=\frac{s^2-7}{3}=-2$. Ahora bien, conociendo la suma y el producto, las incógnitas originales $x$ e $y$ son las soluciones de la ecuación $z^2-sz+p=0$. En este caso, esta última ecuación es $z^2-z-2=0$, que tiene soluciones $z=-1$ y $z=2$, lo que nos da las soluciones $(x,y)=(-1,2)$ y $(x,y)=(2,-1)$.
• Si $s=2$, entonces $p=\frac{s^2-7}{3}=-1$, luego $x$ e $y$ son las soluciones de $z^2-2z-1=0$, que son $z=1\pm\sqrt{2}$. Esto nos da otras dos soluciones al sistema: $(x,y)=(1+\sqrt{2},1-\sqrt{2})$ y $(x,y)=(1-\sqrt{2},1+\sqrt{2})$.
• Si $s=-3$, entonces $p=\frac{s^2-7}{3}=\frac{2}{3}$, luego $x$ e $y$ son las soluciones de $z^2+3z+\frac{2}{3}=0$, es decir, $z=\frac{-1}{6}(9\pm\sqrt{57})$. Esto nos da las dos últimas soluciones al sistema: $(x,y)=(frac{1}{6}(9+\sqrt{57}),frac{-1}{6}(9-\sqrt{57}))$ y $(x,y)=(frac{-1}{6}(9-\sqrt{57}),frac{-1}{6}(9+\sqrt{57}))$.

Esto nos da un total de seis soluciones al sistema.

Nota. En los sistemas de ecuaciones con dos incógnitas que son polinómicos y simétricos (cambiar $x$ por $y$ no afecta al sistema), cambiar a la suma-producto suele simplificar la discusión. En cualquier caso, es muy importante saber que tener la suma y el producto equivale a tener las dos incógnitas a través de la ecuación de segundo grado.