Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El ejemplo que se nos viene a la cabeza cuando pensamos en que haya muchas ternas aditivas es el conjunto $A=\{1,2,3,\ldots,20\}$ de los primeros 20 números naturales. En este caso, la condición $a+b=c$ nos dice que $1\leq a\leq 19$ y, para cada valor de $a$, tenemos que $1\leq b\leq 20-a$. Por tanto, para $a=1$ tenemos 19 posibles valores de $b$, para $a=2$ tenemos 18, para $a=3$ tenemos 17, y así sucesivamente hasta $a=19$, donde tenemos la única posible elección $b=1$. Ahora bien, nos piden que los números $a,b,c$ tienen que ser distintos; como $c=a+b$ no puede ser igual a $a$ o $b$, tendremos que quitar las 10 sumas en que $a=b$, es decir, $1+1,2+2,\ldots,10+10$. Así, el número de ternas aditivas de $A$ es igual a $19+18+\ldots+1-10=\frac{19\cdot 20}{2}-10=180$.

Veremos ahora que ningún conjunto $B$ de $20$ naturales puede tener más de $180$ ternas aditivas. Pongamos $B=\{n_1,n_2,\ldots,n_{20}\}$ y supongamos que $0\lt n_1\lt n_2\lt\ldots\lt n_{20}$. Al expresar $n_k$ como $n_i+n_j$, se tiene necesariamente que $n_i,n_j\lt n_k$ y, para cada $n_i\lt n_k$, existe a lo sumo un $n_j\lt n_k$ tal que $n_i+n_j=n_k$. Así, podemos separar parejas de elementos de $\{n_1,n_2,\ldots,n_{k-1}\}$ que sumen $n_k$. Si $k=1$ o $k=2$, entonces no hay parejas que sumen $n_k$. Si $k\geq 3$ es impar, entonces habrá a lo sumo las $k$ parejas $(n_1,n_{k-1})$, $(n_2,n_{k-2}),\ldots,(n_{k-1},n_1)$. Si $k\geq 4$ es par, entonces algún elemento menor que $n_k$ quedará sin pareja y habrá a lo sumo $k-2$ parejas. Cuando $k$ se mueve de $1$ a $20$, esto nos da un máximo de \[0+0+2+2+4+4+\ldots +18+18=4(1+2+\ldots+9)=180\] posibles elecciones para el par $(a,b)$.

Nota. Observemos que da igual si consideramos 0 como natural o no pues no puede formar parte de una terna aditiva (tendríamos $(a,0,a)$ o $(0,b,b)$ y dos de los números serían iguales. Por otro lado, no es difícil completar el razonamiento de la segunda parte para demostrar que los conjuntos de 20 elementos que tienen exactamente 180 ternas aditivas son los de la forma $A=\{n,2n,\ldots,20n\}$ para cualquier $n\in\mathbb{N}$.