Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si sumamos el número de cuadrados multiplicado por $4$, el número de hexágonos multiplicado por $6$ y el de octógonos multiplicado por $8$ obtendremos $3V$, siendo $V$ el número total de vértices. Por lo tanto, \[V=\frac{12\cdot 4+6\cdot 8+8\cdot 6}{3}=48.\] Ahora bien, de cada vértice salen tres aristas, una diagonal de un cuadrado, tres diagonales de un hexágono y 5 diagonales de un octógono, por lo que este vértice estará unido a otros $48-1-3-5=40$ vértices por segmentos interiores. Esto nos da un total de $40\cdot 48$ de tales segmentos, pero cada uno lo estamos contando dos veces (una por cada uno de sus extremos). Por tanto, el número de segmentos que buscamos es $\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 48=960$.

Nota. El poliedro en cuestión existe y se llama cuboctaedro truncado. Puede verse en la figura de arriba (extraída de Wikipedia). ¿Sabrías contar el número de aristas? ¿Sabrías probar que es el único poliedro tal que en cada vértice concurren un cuadrado, un hexágono y un octógono? En otras palabras, los datos de 12 cuadrados, 8 hexágonos y 6 octógonos son redundantes.