Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Comenzamos factorizando \begin{align*} a_n&=n^3+1=(n+1)(n^2-n+1),\\ a_{n+1}&=(n+1)^3+1=(n+2)(n^2+n+1). \end{align*} Como $n+1$ no tiene factores en común con $n+2$ ya que son dos números consecutivos y tampoco con $n^2+n+1=n(n+1)+1$ ya que es un múltiplo de $n+1$ más una unidad. De la misma forma, $n+2$ no tiene factores en común con $n+1$ pero al ser $n^2-n+1=(n+2)(n-3)+7$, el único factor no trivial que pueden tener en común $n+2$ y $n^2-n+1$ es el $7$ (justo ocurre cuando $n+2$ es múltiplo de $7$). Finalmente, tenemos que \begin{align*} \mathrm{mcd}(n^2-n+1,n^2+n+1)&=\mathrm{mcd}(n^2-n+1,n^2+n+1-(n^2-n+1))\\ &=\mathrm{mcd}(n^2-n+1,2n)=\mathrm{mcd}(n^2-n+1,2)=1, \end{align*} puesto que $n^2-n+1$ es impar y no tiene factores en común con $n$. Con todo esto, deducimos que el máximo posible divisor común a $a_n$ y $a_{n+1}$ es $7$. Para $n=5$, tenemos que $a_5=126=18\cdot 7$ y $a_6=217=31\cdot 7$ tienen máximo común divisor $7$, luego este es el valor buscado.