Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si sustituimos $b=\frac{cd}{a}$, podemos transformar \begin{align*} a+b+c+d&=a+\frac{cd}{a}+c+d=\frac{a^2+cd+ac+ad}{a}=\frac{(a+c)(a+d)}{a}. \end{align*} Ahora bien, el resultado de la fracción anterior debe ser un número entero, luego podemos factorizar $a=rs$ de forma que $r$ divide a $a+c$ y $s$ divide a $a+d$, es decir, $\frac{a+c}{r}$ y $\frac{a+d}{s}$ son enteros. Claramente estos enteros son mayores que $1$ ya que $a+c\gt a\geq r$ y $a+d\gt a\geq s$ porque $c$ y $d$ son positivos. Hemos probado así que $a+b+c+d=\frac{a+c}{r}\cdot \frac{a+d}{s}$ no es primo.