Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideremos los puntos $P$ y $Q$ indicados en la figura de abajo. Por simetría, el área se descompone en $8$ triángulos congruentes a $OPQ$. Este último triángulo, sombreado en la figura, tiene base $PQ$ y altura $\frac{1}{2}$, luego el área que nos piden es $S=8\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot PQ=2 PQ$ y será suficiente calcular la longitud de $PQ$ en función de $\alpha=\angle A'PQ$.

Por la simetría de la figura y usando trigonometría en el triángulo $A'PQ$, obtenemos que $BP=A'P=PQ\cos\alpha$. Análogamente, tenemos que $AQ=A'Q=PQ\operatorname{sen}\alpha$, con lo que \[1=AB=AQ+PQ+BP=PQ(1+\operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha).\] Esto nos lleva a la solución del problema \[S=2PQ=\frac{2}{1+\operatorname{sen}\alpha+\cos\alpha}.\]

Nota. La solución presupone que $\alpha\in[0,90]$ implícitamente. Para un valor de $\alpha$ general, por la simetría de la construcción basta reducirlo módulo $90$ a un ángulo de dicho intervalo.