Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Al ser las tangentes enteros positivos, deducimos que los tres ángulos del triángulo son agudos de al menos $45^\circ$. Ahora bien, no puede ser todas las tangentes mayores o iguales que $2$ ya que entonces la suma de los ángulos del triángulo sería mayor o igual que $3\arctan(2)\gt 3\arctan(\sqrt{3})=180^\circ$, donde hemos usado que el arcotangente es una función creciente. Deducimos que uno de los tres ángulos tiene que tener tangente igual a $1$ y, por tanto, ser igual a $45^\circ$. Si llamamos $\alpha$ y $\beta$ a los otros dos ángulos, tendremos que $\alpha+\beta=135^\circ$, luego \[-1=\tan(135^\circ)=\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)},\] igualdad que se puede reescribir como \[\tan(\alpha)\tan(\beta)-\tan(\alpha)-\tan(\beta)=1\] o bien \[(\tan(\alpha)-1)(\tan(\beta)-1)=2.\] La única posibilidad siendo las tangentes enteros positivos es que uno de los factores sea igual a $1$ y el otro igual a $2$, luego podemos suponer que $\tan(\alpha)=2$ y $\tan(\beta)=3$. Tenemos así que las tangentes de los tres ángulos son los números $1$, $2$ y $3$.

Nota. Observemos que el propio cálculo anterior nos dice que $\tan(\alpha+\beta)=-1$, luego $\alpha=\arctan(2)$ y $\beta=\arctan(3)$ suman $135^\circ$. Esto nos lleva directamente a la famosa identidad \[\arctan(1)+\arctan(2)+\arctan(3)=180^\circ.\]