Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 803
Probar que existe una sucesión de enteros positivos $\{a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots\}$ tal que
\[a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2\]
es un cuadrado perfecto para todo entero positivo $n$.
pistasolución 1info
Pista. Observa que todo número impar $2m+1$ se le puede sumar el cuadrado $m^2$ para obtener el siguiente cuadrado $(m+1)^2$. Por lo tanto, sólo hay que garantizar que en el proceso siempre se consiguen sumas impares.
Solución. Tomamos $a_1=3$. Para $n\geq 2$, si suponemos que $a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{n-1}^2$ es un cuadrado impar, entonces es de la forma $4k+1$ y podemos definir $a_n=2k$ de forma que $a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2=(4k+1)+4k^2=(2k+1)^2$ también es un cuadrado impar.
Nota. De hecho, el método permite construir explícitamente tantos términos de la sucesión como queramos. Por ejemplo, los primeros serán \[\{3,4,12,84,3612,6526884,\ldots\}\]
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