Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $a,b,c$ las cifras de las centenas, decenas y unidades del número $n$, respectivamente. Por lo tanto, podemos escribir \[\left\{\ \begin{array}{l} n=100a+10b+c\\ m=100c+10b+a\\ S=a+b+c \end{array}\right.\] De esta forma, podemos escribir la condición que nos dan como \[0=n-2m-S=97a-11b-200c.\] Si miramos esta ecuación módulo $2$, $9$ y $11$, obtenemos \begin{align*} 0&=97a-11b-200c\equiv a-b\ (\text{mod }2),\\ 0&=97a-11b-200c\equiv 2(a+b+c)\ (\text{mod }9),\\ 0&=97a-11b-200c\equiv -2(a+c)\ (\text{mod }11).& \end{align*} Deducimos que $a$ y $b$ tienen la misma paridad, que $a+b+c$ es múltiplo de $9$ y que $a+c$ es múltiplo de $11$. Como $1\leq a\leq 9$ y $0\leq c\leq 9$, esta última condición nos dice que $a+c=11$ y tenemos solo 8 posibilidades para el par $(a,c)$. Por otro lado, $11+b=a+b+c\equiv 0\ (\text{mod }9)$, nos da necesariamente $b=7$, lo que nos dice que $a$ es impar. Hemos reducido los casos posibles a los siguientes:

• Si $(a,c)=(3,8)$, entonces $n=378$ y $97a-11b-200c=-1386$.
• Si $(a,c)=(5,6)$, entonces $n=576$ y $97a-11b-200c=-792$.
• Si $(a,c)=(7,4)$, entonces $n=774$ y $97a-11b-200c=-198$.
• Si $(a,c)=(9,2)$, entonces $n=972$ y $97a-11b-200c=396$.

En ninguno de los cuatro casos se obtiene $97a-11b-200c=0$, luego no existen números $n$ que cumplan la condición propuesta.