Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 812
Probar que para cualquier primo $p$ distinto de $2$ y $5$ existe un múltiplo de $p$ cuyas cifras son todas nueves. Por ejemplo, si $p = 13$, tenemos que $999999=13\cdot 76923$.
pistasolución 1info
Pista. Utiliza el teorema pequeño de Fermat
Solución. Si $p$ es un número primo distinto de $2$ y $5$, entonces es primo relativo con $10$, luego el teorema pequeño de Fermat nos asegura que $10^{p-1}\equiv 1\ (\text{mod }p)$. En otras palabras, el número $10^{p-1}-1$, que se escribe solo con nueves, es múltiplo de $p$.
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