Diremos que un triángulo es multiplicativo si el producto de las longitudes de dos de sus lados es igual a la longitud del tercer lado. Sean $A,B,C$ tres vértices consecutivos de un polígono regular de $n$ lados con todos sus lados de longitud $1$. Las $n-3$ diagonales que salen del vértice $B$ dividen al triángulo $ABC$ en $n-2$ triángulos más pequeños. Probar que cada uno de esos triángulos es multiplicativo.
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Pista. Fíjate en que los ángulos en el vértice $B$ de todos los triángulos son iguales, con lo que tienes un montón de bisectrices en la figura.
Solución. Llamamos $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}$ a los lados de los $n-2$ triángulos que parten de $B$ y llamamos $d_1,d_2,\ldots,d_{n-2}$ a los lados opuestos al vértice $B$, como se muestra en la figura. El ángulo en el vértice $B$ tiene el mismo valor para los $n-2$ triángulos ya que es el arco capaz que subtiende a un lado del polígono desde la circunferencia circunscrita al triángulo. Vamos a probar por inducción sobre $k$ que se cumple que $a_k\,a_{k+1}=d_k$ para todo $k$ desde $1$ hasta $n-2$, lo que demostrará que los triángulos son multiplicativos y habremos terminado.
Para $k=1$, está claro que $a_1=1$ (es un lado del polígono) y $a_2=d_2$ por simetría de este primer triángulo respecto de la mediatriz del lado $BC$. Supongamos entonces cierto que $a_{k-1}a_k=d_{k-1}$ para cierto $k$ y probemos que $a_ka_{k+1}=d_k$. Para ello, consideramos el triángulo que se obtiene al unir los triángulos $(k-1)$-ésimo y $k$-ésimo, que tiene por lados $a_{k-1}$, $a_{k+1}$ y $d_{k-1}+d_k$, de forma que $a_k$ es la longitud de una de sus bisectrices interiores. El teorema de la bisectriz (ver la nota) nos da entonces el resultado deseado:
\[\frac{a_{k+1}}{d_k}=\frac{a_{k-1}}{a_{k-1}a_k}=\frac{1}{a_k}\ \Leftrightarrow\ a_ka_{k+1}=d_k.\]
Nota. El teorema de la bisectriz nos dice que la bisectriz interior de un triángulo desde un vértice divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados correspondientes.
Solución. Llamamos $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}$ a los lados de los $n-2$ triángulos que parten de $B$ y llamamos $d_1,d_2,\ldots,d_{n-2}$ a los lados opuestos al vértice $B$, como se muestra en la figura. Estos $n-2$ triángulos tienen el mismo ángulo $\alpha$ en el vértice $B$ ya que es el arco capaz que subtiende a un lado del polígono desde la circunferencia circunscrita al triángulo. Este ángulo viene dado además por $\alpha=\angle BAC$. Los $n-2$ triángulos también tienen altura común, que es la altura del triángulo $ABC$ desde el vértice $B$ y está dada por $h=\mathrm{sen}(\angle ABC)=\mathrm{sen}(\alpha)$.
Consideremos el triángulo de lados $a_k,a_{k+1},d_k$ y calculemos su área $S_k$ de dos formas distintas. Por un lado, como la mitad de la base por la altura y, por otro, como la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo que forman:
\[S_k=\frac{d_kh}{2}=\frac{a_ka_{k+1}}{2}\mathrm{sen}(\alpha)\ \Longleftrightarrow\ a_ka_{k+1}=d_k,\]
luego el triángulo es multiplicativo.
