Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Podemos poner denominador común y escribir \[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n}=\frac{3 n^2+6 n+2}{n (n+1) (n+2)}.\] Observamos que si $n$ es impar, entonces el numerador es impar y el denominador es par. Si $n=2k$ es par, entonces el denominador es múltiplo de $4$ ya que $n$ y $n+2$ son pares consecutivos, mientras que el numerador es igual a $2(6 k^2+6 k+1)$ y sólo tiene un factor $2$. Esto nos dice que en cualquier expresión como fracción del número $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n}$ tendremos que el denominador es par. En particular, nunca se puede poner como una fracción en la que el denominador sea $999\cdots 9$ (como les pasa a todos los periódicos puros).

Finalmente, descartamos también que el número sea un decimal exacto. Esto viene de que el denominador $n (n+1) (n+2)$ es múltiplo de $3$ (es el producto de tres enteros consecutivos) mientras que el numerador $3n^2+6n+2$ deja resto $2$ al dividirlo entre $3$. Un número decimal limitado se tiene que poder escribir como una fracción en la que el denominador sólo tiene factores $2$ o $5$, pero este argumento nos dice que en cualquier fracción que exprese a este número habrá un factor $3$ en el denominador.