Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que las longitudes de los lados son $a\leq b\leq c$. Las dos caras mayores involucran $2bc$ cubos, las dos medianas otros $2a(c-2)$ y las pequeñas otros $2(a-2)(b-2)$, donde se ha tenido en cuenta que los cubos que se encuentran en las aristas del ortoedro no deben contarse más que una vez. Esto nos da un total de cubos pintados igual a \begin{align*} 2bc+2a(c-2)+2(a-2)(b-2)&=2(ab+bc+ca)-4(a+b+c)+8\\ &=abc-(a-2)(b-2)(c-2). \end{align*} Como esta cantidad debe ser igual a la mitad de todos los cubos (es decir, $\frac{abc}{2}$), nos queda la ecuación \[abc=2(a-2)(b-2)(c-2)\ \Leftrightarrow\ \left(1-\frac{2}{a}\right)\left(1-\frac{2}{b}\right)\left(1-\frac{2}{c}\right)=\frac{1}{2}.\] Ahora bien, si el producto de tres números es igual a $\frac{1}{2}$, el menor tiene que ser menor o igual que $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}\lt 0,\!8$, lo que nos da $1-\frac{2}{a}\lt 0,\!8$ y esto equivale a $a\lt 10$ (observamos que $1-\frac{2}{a}\leq 1-\frac{2}{b}\leq 1-\frac{2}{c}$ ya que hemos supuesto que $a\leq b\leq c$). Por tanto, sólo hay un número finito de posibles valores de $a$. Fijamos uno de ellos y despejamos de la ecuación original: \[\left(1-\frac{2}{b}\right)\left(1-\frac{2}{c}\right)=\frac{a}{2(a-2)}.\] Ahora el producto de dos números es igual a $\frac{a}{2(a-2)}$ luego el menor de ellos debe ser menor o igual que la raíz cuadrada de dicho número, lo que nos da \[1-\frac{2}{b}\leq\sqrt{\frac{a}{2(a-2)}}\ \Leftrightarrow\ b\leq \frac{2}{1-\sqrt{\frac{a}{2(a-2)}}}.\] De esta forma, para cada uno de los valores de $a$, hay un número finito de valores de $b$. Finalmente, para cada valor de $a$ y $b$ en estas condiciones, hay un único valor de $c$ que cumple la ecuación. Todo esto demuestra que el número de tales ortoedros es finito.