Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pongamos que $n$ es suma de $k$ números consecutivos. Si llamamos $a\geq 1$ al menor de ellos, usando la conocida fórmula para la suma de los $k-1$ primeros naturales, tenemos que \begin{align*} n=a+(a+1)+\ldots+(a+k-1)&=ka+1+2+\ldots+(k-1)\\ &=ka+\frac{k(k-1)}{2}=k\left(a+\frac{k-1}{2}\right). \end{align*} Esto se puede expresar equivalentemente como \[2n=k(2a+k-1).\] Por tanto, $k$ y $2a+k-1$ deben ser divisores complementarios de $2n$ y además se cumple $2a+k-1\gt k$ ya que $a\geq 1$. Para cada divisor $d$ de $2n$ tal que $1\lt d\lt\sqrt{2n}$, tenemos una posible solución $k=d$ y $2a+k-1=\frac{2n}{d}$, o equivalentemente $2a=\frac{2n}{d}-d+1$. Esto nos da un valor de $a$ positivo, pero podría no ser entero. Si $d$ es impar, entonces $\frac{2n}{d}-d+1$ es par, luego no hay problema. Si $d$ es par, entonces $\frac{2n}{d}-d+1$ es par si y solo si $\frac{2n}{d}$ es impar, es decir, si $d$ es múltiplo de la mayor potencia de $2$ que divide a $n$. En otras palabras, si $\frac{2n}{d}$ es un divisor impar de $n$ (en este caso, la condición $1\lt d\lt\sqrt{2n}$ nos dice que $\sqrt{2n}\lt \frac{2n}{d}\lt 2n$).

Lo anterior se resume diciendo que tenemos una suma de enteros consecutivos igual a $n$ por cada divisor impar de $2n$ distinto del $1$ (aunque $2n$ fuera un cuadrado perfecto, $\sqrt{2n}$ no sería nunca un divisor impar, luego no daría problemas). Si descomponemos en factores primos \[n=2^ap_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r},\] con $p_1,\ldots,p_r$ primos impares distintos, entonces $2n$ tiene exactamente $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)-1$ divisores impares distintos de $1$ (restamos $1$ por esto último). Por tanto, la condición que estamos buscando es que los exponentes de los primos impares verifiquen \[(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)=2008.\] Como $2008=2^3\cdot 251$ y $251$ es primo, tenemos pocas posibilidades para el menor número que verifica la condición del enunciado (ponemos los exponentes más grandes a los primos más pequeños):

• Si $r=1$ y $e_1=2007$, entonces tenemos $n=3^{2007}$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(1003,1)$, entonces $n=3^{1003}\cdot 5$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(501,3)$, entonces $n=3^{501}\cdot 5^3$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(250,7)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5^7$.
• Si $r=3$ y $(e_1,e_2,e_3)=(501,1,1)$, entonces $n=3^{501}\cdot 5\cdot 7$.
• Si $r=3$ y $(e_1,e_2,e_3)=(250,3,1)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5^3\cdot 7$.
• Si $r=4$ y $(e_1,e_2,e_3,e_4)=(250,1,1,1)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$.

De todos estos números, el menor es $n=3^{250}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$.