Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. El polinomio $x^5+x+1$ no tiene raíces enteras pero puede factorizarse como producto de un polinomio de grado $3$ por otro de grado $2$. Para ello, pongamos \begin{align*} x^5+x+1&=(x^3+ax^2+bx+c)(x^2+ex+f)\\ &=x^5+(a+e)x^4+(b+ae+f)x^3+(c+be+af)x^2+(ce+bf)x+cf. \end{align*} Igualando coeficientes, tenemos en primer lugar que $cf=1$, luego pondremos $c=f=1$ ya que buscamos coeficientes enteros (si no nos sale, deberíamos probar con la otra opción $c=f=-1$). Entonces, nos queda que $a+e=0$, $b+ae=-1$, $a+be=-1$ y $e+b=1$. Podemos sustituir entonces $a=-e$ y $b=1-e$ en $b+ae=-1$ para llegar a que $1-e-e^2=-1$, ecuación que tiene soluciones $e=1$ y $e=-2$. Con $e=1$, tenemos $a=-1$ y $b=0$, que cumplen la ecuación restante ($a+be=-1$) y nos dan la factorización deseada: \[x^5+x+1=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1).\] Esto nos dice que el número original se puede factorizar (con $x=2^m$) como \[2^{5m}+2^m+1=(2^{3m}-2^{2m}+1)(2^{2m}+2^{m}+1).\] Está claro que $2^{3m}-2^{2m}\gt 0$ (puesto que $m\gt 0$), luego el primer factor no es $\pm 1$. Tampoco lo es el segundo (ya que es mayor que $1$), luego el número $2^{5m}+2^m+1$ es compuesto para todo entero $m\geq 1$.