Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 835
Se consideran $17$ enteros positivos tales que ninguno de ellos tiene un factor primo mayor que $7$. Demuestra que hay al menos una pareja de estos números cuyo producto es un cuadrado perfecto.
pistasolución 1info
Pista. Usa el principio del palomar.
Solución. Los enteros a considerar son de la forma $2^a\cdot 3^b\cdot 5^c\cdot 7^d$. Hay $16=2^4$ posibilidades para la paridad de los cuatro exponentes ya que cada uno de ellos puede ser par o impar. Como tenemos 17 números de esta forma, al menos dos de ellos tendrán cada uno de los cuatro exponentes con la misma paridad. Al multiplicarlos, como se suman los exponentes, obtenemos otro número de la misma forma con todos los exponentes pares, es decir, un cuadrado perfecto.
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