Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Sea $ABCD$ el tetraedro regular. Para que la sección producida sea un cuadrilátero y no un triángulo, el plano debe dejar a cada lado dos de los vértices; sin perder generalidad, supondremos que $A$ y $B$ están a un lado y $C$ y $D$ al otro, de forma que el rombo $PQRS$ tiene los vértices $P,Q,R,S$ sobre los lados del tetraedro $BD,DA,AC,CB$, respectivamente. Por ser rombo, la recta $QR$ es paralela a $PS$ y admiten un vector director común $\vec u$ que debe ser paralelo a los planos que contienen las caras $ACD$ y $BCD$ y, por tanto, la recta $CD$, intersección de estos dos planos, tiene que tener también a $\vec u$ por vector director (en otras palabras, $PS$ y $QR$ son paralelas a $CD$). Del mismo modo se demuestra que $RS$ y $PQ$ tienen por vector director al vector director de $AB$, que llamaremos $\vec v$. Como $\vec u$ y $\vec v$ son perpendiculares (las rectas $AB$ y $CD$ se cruzan en el espacio de forma perpendicular), se sigue $PQRS$ tiene todos sus ángulos iguales a $90^\circ$ y, en consecuencia, se trata de un cuadrado.

Nota. En realidad hemos demostrado una propiedad un poco más general: si la sección producida es un paralelogramo, entonces debe ser un rectángulo. La propiedad de ser rombo distrae más que aporta, ya que si intentamos usar argumentos sobre la longitud de los lados de $PQRS$, los razonamientos se complican y no parece que lleven a una solución sencilla.