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Problema 843
OME Local, 2009-P6
Se tienen en el plano $3n$ puntos: $n$ coloreados de blanco, $n$ de azul y $n$ de negro. De cada punto salen $n+1$ segmentos que lo unen con puntos de distinto color al suyo. Probar que hay, al menos, un triángulo formado por vértices de distinto color.
pistasolución 1info
Pista. Toma como uno de los vértices del triángulo el vértice que esté unido a más puntos de un mismo color y usa esta información convenientemente.
Solución. Sea $m$ el número máximo de vértices de un mismo color al que está unido uno de los vértices en la configuración dada. Sea $V$ un vértice que alcance este máximo: pongamos es de color A y está unido a $m$ vértices de otro color B. Como está unido a $n+1$ vértices, tendrá que estar necesariamente unido a al menos un vértice $W$ del tercer color C. Entonces, $W$ está unido como mucho a $m$ vértices de color A (por ser $m$ el máximo), luego estará unido al menos a $n+1-m$ vértices de color B. De entre estos vértices habrá alguno, llamémoslo $U$, al que estará unido $V$ puesto que $V$ está unido a $m$ vértices de color B y $(n+1-m)+m=n-1\gt n$. Tenemos entonces que $U,V,W$ están unidos entre sí y tienen distinto color.
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