Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que $P$ es uno de los planos que contiene cuatro puntos, pongamos $A,B,C,D$, y que no hay tres de ellos alineados. Vamos a probar que en tal caso a lo sumo hay tres planos, distinguiendo casos:

• Si $P$ contiene a los 6 puntos, entonces $P$ es el único plano.
• Si $P$ contiene a 5 puntos, pongamos $A,B,C,D,E$, y no al sexto $F$, entonces el máximo número de planos es $3$, lo cual ocurre cuando hay dos rectas contenidas en $P$ que se cortan en $E$ y cada una contiene a dos de los puntos $A,B,C,D$. Tenemos entonces el plano $P$ y los otros dos planos que contienen a $F$ y a una de estas dos rectas.
• Si $P$ contiene únicamente a $A,B,C,D$ y no a los otros dos, llamémoslos $E$ y $F$, entonces cualquier otro plano debe contener necesariamente a $E$ y $F$ ya que hemos supuesto que no hay tres de los puntos $A,B,C,D$ que estén alineados. Del haz de planos que contienen a $E$ y $F$, como mucho habrá un plano que contenga a dos de los puntos $A,B,C,D$ y otro que contenga a los otros dos, luego el máximo también es $3$ en este caso.

Esto demuestra que, si queremos más de tres planos, necesariamente cada uno de ellos debe contener a tres puntos alineados. Si sólo hubiera tres puntos alineados de entre los seis, entonces tendríamos también un máximo de tres planos (que serían los que contienen a estos tres puntos y pasan por cada uno de los tres restantes). Así, nos queda la posibilidad de que los seis puntos formen dos ternas de puntos alineados (no coplanarias), en cuyo caso tenemos seis planos (los que contienen a una terna y pasan por cada uno de los tres puntos restantes). Deducimos así que el máximo es $6$.