Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Vamos a llamar $W$ y $B$ al número de puntos blancos y negros de la retícula (por sus siglas en inglés). Supongamos que en una columna $C$ hay $w$ puntos blancos y $b$ puntos negros, con $b+w=m$. Podemos contar el número total de puntos blancos teniendo en cuenta que por cada punto blanco en $C$ hay $w$ puntos blancos en su fila (lo que nos da $w^2$ puntos blancos entre todas esas filas) y por cada punto negro en $C$ hay $b$ puntos negros en su fila, luego $n-b$ puntos blancos. En resumidas cuentas, tenemos que \[W=w^2+b(n-b)=w^2-b^2+bn=w^2-(m-w)^2+(m-w)n=(2n-m)w+n(m-n).\] Esto vale para cualquier columna, lo que nos dice que, si $n\neq 2m$, todas las columnas deben tener el mismo número de elementos blancos (ya que $W$ no depende de la columna elegida). Si $m\neq 2n$, la misma cuenta vale para las filas y todas ellas deben tener el mismo número de elementos blancos. Esto no es más que cambiar los papeles de $m$ y $n$, luego tenemos que \[W=(2n-m)w+n(m-n)=(2m-n)w+m(n-m),\] La última igualdad se puede transformar en $3(m-n)w=m^2-n^2$. Si ocurriera que $m\neq n$, entonces tendríamos que $3w=m+n$ y, haciendo todo el razonamiento con los puntos blancos, tenemos que $3w=m+n=3b$, esto es, toda fila y toda columna debe tener el mismo número de elementos blancos y de elementos negros, luego debe ser necesariamente $m=n$.

Hemos probado entonces que si $m\neq 2n$ y $n\neq 2m$, tiene que ser $m=n$. Tenemos así tres casos y vamos a ver que en los tres se puede, luego la solución son los pares $(n,n)$, $(2n,n)$ y $(n,2n)$ para todo entero positivo $n$:

• Si $m=n$, sólo hay que pintar todos los puntos del mismo color.
• Si $m=2n$, podemos pintar las $n$ primeras filas enteras de blanco y las $n$ últimas filas enteras de negro.
• Si $n=2m$, análogamente pintamos las $m$ primeras columnas enteras de blanco y las $m$ últimas columnas enteras de negro.