Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos que $\alpha$ es una raíz común a ambos polinomios. Restando las igualdades $\alpha^n+a\alpha=2008$ y $\alpha^n+b\alpha=2009$, obtenemos que $(b-a)\alpha=1$, luego solo hay una posible raíz común, que es $\alpha=\frac{1}{b-a}$. Sustituyéndola en la primera ecuación, tenemos que \[\frac{1}{(b-a)^n}+\frac{a}{b-a}=2008\ \Leftrightarrow\ \frac{1}{(b-a)^{n-1}}=2008(b-a)-a=2008b-2009a.\] De aquí deducimos que \[(b-a)^{n-1}(2008b-2009a)=1.\] Al tratarse de números enteros obtenemos que $b-a=\pm 1$ y $2008b-2009a=\pm 1$, aunque habrá que tener en cuenta la paridad del exponente $n-1$. Distingamos casos:

• Si $b-a=1$ y $2008b-2009a=1$, podemos resolver este sistema lineal para llegar a que $a=2007$ y $b=2008$, en cuyo caso se comprueba fácilmente que $x_0=1$ es raíz común a los dos polinomios del enunciado.
• Si $b-a=-1$ y $2008b-2009a=1$ (siendo $n$ impar), el sistema lineal nos da $a=-2009$ y $b=-2010$, en cuyo caso la raíz común es $x_0=-1$ (se comprueba fácilmente).
• Si $b-a=-1$ y $2008b-2009a=-1$ (siendo $n$ par), el sistema lineal nos da $a=-2007$ y $b=-2008$, en cuyo caso la raíz común es $x_0=-1$ (se comprueba también fácilmente).

Por tanto, respondemos al enunciado diciendo que las soluciones $(a,b)$ para $n$ par son $(2007,2008)$ y $(-2007,-2008)$; si $n$ es impar, las soluciones son $(2007,2008)$ y $(-2009,-2010)$.