Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 85
Se meten en un saco \(900\) tarjetas numeradas del \(100\) al \(999\). ¿Cuál es la menor cantidad de tarjetas que se deben sacar del saco, para asegurarnos que al menos en tres tarjetas la suma de los dígitos del número escrito es la misma?
pistasolución 1info
Pista. ¿Cuáles son las posibles sumas? ¿Cuántas tarjetas corresponden a cada suma?
Solución. Observemos que la suma mínima corresponde al número 100 y la máxima al número 999. Por lo tanto, las sumas varían entre 1 y 27 y hacen un total de 27 sumas distintas, pero las sumas 1 y 27 sólo se tienen en las tarjetas correspondientes a 100 y 999, respectivamente. En consecuencia, el mayor número de tarjetas posible sin tener tres de igual suma es 52 (2 correspondientes a las tarjetas 100 y 999 y dos correpondientes a cada suma entre 2 y 26. De esto deducimos que si tomamos 53 tarjetas cualesquiera, siempre habrá tres que tengan la misma suma.
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