Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Por simplicidad, podemos suponer que $x,y\geq 0$ cambiándolos de signo si fuera necesario. Es bastante evidente la factorización $x^2-y^4=(x-y^2)(x+y^2)$ como diferencia de cuadrados, por lo que, para cada divisor positivo $d$ de $2009$ tenemos una potencial solución con $x-y^2=d$ y $x+y^2=\frac{2009}{d}$. Como $2009$ es impar, las soluciones de este sistema \[x=\frac{\frac{2009}{d}+d}{2},\qquad y^2=\frac{\frac{2009}{d}-d}{2}\] son números enteros, pero es necesario comprobar para qué elecciones de $d$ el segundo término $\frac{\frac{2009}{d}-d}{2}$ es un cuadrado perfecto. Para que sea positivo, además tendremos que $0\lt d\leq\sqrt{2009}\lt 45$, lo que nos deja solamente tres posibilidades:

• $d=1$ nos da $y^2=1004$, que no es un cuadrado perfecto.
• $d=7$ nos da $y^2=140$, que no es un cuadrado perfecto.
• $d=41$ nos da $y^2=4$, luego $y=2$ y $x=45$.

Finalmente, teniendo en cuenta que habíamos supuesto que las soluciones son positivas, deducimos que las soluciones enteras son $(-45,-2)$, $(-45,2)$, $(45,-2)$ y $(45,2)$.