Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La condición $abc=1$ puede eliminarse si escribimos $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$, siendo ahora $x,y,z\gt 0$ reales positivos arbitrarios. Esto nos permite escribir la desigualdad a probar como \[\left(\frac{zx}{yz+xy}\right)^2+\left(\frac{xy}{zx+yz}\right)^2+\left(\frac{yz}{xy+zx}\right)^2\geq\frac{3}{4}.\] Por un lado, la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática nos da \[\left(\frac{zx}{yz+xy}\right)^2+\left(\frac{xy}{zx+yz}\right)^2+\left(\frac{yz}{xy+zx}\right)^2\geq\frac{1}{3}\left(\frac{zx}{yz+xy}+\frac{xy}{zx+yz}+\frac{yz}{xy+zx}\right)^2.\] Por otro lado, por la desigualdad de Nesbitt (véase la nota), tenemos que \[\frac{zx}{yz+xy}+\frac{xy}{zx+yz}+\frac{yz}{xy+zx}\geq\frac{3}{2}.\] Combinando estas dos desigualdades, obtenemos la del enunciado.

Nota. La desigualdad de Nesbitt nos dice que \[\frac{A}{B+C}+\frac{B}{C+A}+\frac{C}{A+B}\geq\frac{3}{2}\] para cualesquiera reales positivos $A,B,C$. La igualdad se tiene cuando $A=B=C$. En nuestro caso, la hemos aplicado para $A=zx$, $B=xy$ y $C=yz$, luego si la igualdad se alcanza, se tiene que $x=y=z$. Esto nos lleva a que la igualdad en la desigualdad original se tiene sólo para $a=b=c=1$.