Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Consideremos los puntos $S$ y $S'$ simétricos de $P$ y $P'$ respecto del centro de la circunferencia, lo que define un rectángulo inscrito $PP'SS'$. Además, como $AP'$ es perpendicular a $PP'$, se tiene que $A$ pertenece al interior del segmento $PS'$ y $B$, por simetría, pertenece al segmento $SP'$. Por la simetría respecto de $O$ y la simetría de $B$ y $C$ respecto de $PP'$, s e tiene que $AS'=BP'=P'C$. Como los segmentos $AS'$ y $P'C$ son paralelos (están en lados opuestos del rectángulo), se tiene que $AS'P'C$ es un paralelogramo, luego $AC=P'S'=2r$. Finalmente, observamos que $QC=QB$ por simetría, luego $AQ+QB=AQ+QC=2r$ y deducimos que la suma de las distancias de $Q$ a $A$ y $B$ es constante. Esto nos asegura que $Q$ está en una elipse de focos $A$ y $B$.

Nos queda determinar de qué elipse se trata concretamente ya que hay infinitas con focos $A$ y $B$. Si prolongamos $AB$ hasta que corte en un punto $X$ a la circunferencia, se tiene claramente que $AX+XB=2r$, luego $X$ también está en la misma elipse. Como la elipse es simétrica respecto de la recta $AB$, no queda otra que ser tangente a la circunferencia en $X$. Además, como $Q$ pertenece a la cuerda $PP'$, los puntos de la elipse siempre son interiores a la circunferencia. Concluimos que el lugar geométrico es la única elipse de focos $A$ y $B$ tangente interiormente a la circunferencia.