Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

• Si $n$ es impar, entonces la suma de los elementos de $I_n$ es impar, luego no se puede descomponer en dos subconjuntos disjuntos con la misma suma $S$ (la suma de todos los elementos de $I_n$ sería $2S$, que es par).
• Si $n$ es múltiplo de $4$, entonces sí se puede. Una forma de hacerlo es emparejar el primero con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente. Se forma así un número par de parejas con la misma suma cada una de ellas. Bastará entonces unir la mitad de las parejas por un lado y la otra mitad por otro para formar los dos subconjuntos.
• Si $n$ es par pero no múltiplo de $4$, tenemos que $I_2=\{1,3\}$ no se puede pero $I_6=\{1,3,5,7,9,11\}$ se puede descomponer en $\{1,3,5,9\}$ y $\{7,11\}$. Para todo número de la forma $4k+6$ con $k\geq 1$, podemos separar los seis primeros elementos de $I_n$ de la misma forma que los de $I_6$ y luego emparejar los $4k$ restantes (el primero con el último, el segundo con el penúltimo,...) en $2k$ parejas de la misma suma. Entonces, $I_n=A\cup B$, siendo $A$ el conjunto unión de $k$ parejas con $\{1,3,5,9\}$ y $B$ igual a la unión de $\{7,11\}$ con las otras $k$ parejas.

Deducimos de todo esto que los valores de $n$ para los que $I_n$ se descompone en dos subconjuntos disjuntos de la misma suma son los pares mayores o iguales que $4$.