Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. El primer jugador comienza poniendo un $-1$ en el término independiente, de forma que se limitan las posibles soluciones enteras a $1$ y $-1$. Consideremos las posibles factorizaciones: \begin{align*} (x-1)(x+1)(x^2+ax+1)&=x^4+ax^3-ax-1,\\ (x+1)^2(x^2+ax+1)&=x^4+(a+2)x^3+2ax^2+(a-2)x-1,\\ (x-1)^2(x^2+ax+1)&=x^4+(a-2)x^3-2ax^2+(a+2)x-1.\\ \end{align*} La primera factorización no es posible ya que implica poner un $0$ en el término de grado $2$. Ahora, cuando el segundo jugador pone un número en uno de los coeficientes de $x$, $x^2$ o $x^3$, determinar a lo sumo dos valores de $a$ (uno para la segunda factorización y otro para la tercera). El primer jugador sólo tiene que escribir en uno de los huecos restantes un número que determine un valor de $a$ diferente de estos dos.

Nota. Si el primer jugador pone un $1$ en lugar de $-1$ en el término independiente, entonces es el segundo jugador el que tiene la estrategia ganadora. Para verlo, tomamos la factorización \[(x-1)(x+1)(x^2+ax-1)=x^4+ax^3-2x^2-ax+1.\] Si el segundo juega un $-2$ en el término de $x^2$, en su segundo turno solo tendrá que poner lo opuesto a lo que haya puesto el primer jugador en su segundo turno.