Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Para centrar el problema, vamos a pensar que el jardinero tiene los 12 árboles en macetas y va cogiendo una a una una maceta sin mirar de qué tipo de árbol es y la planta consecutivamente en 12 agujeros que previamente ha cavado. De esta forma, está claro que hay $12!$ formas posibles de plantar los árboles. Veamos cuántas de ellas tienen no tienen hayas consecutivas para hallar la probabilidad como casos favorables entre casos posibles.

Denotamos por $H$ a las hayas y por $A$ a los otros árboles (robles o encinas). Para que no estén consecutivas, tendremos que poner al menos un árbol entre cada haya: \[\_\ H\ A\ \_\ H\ A\ \_\ H\ A\ \_\ H\ A\ \_\ H\ \_\] aunque nos quden seis huecos marcados con $\_$ para poner otras tres $A$. Estas se podrán poner libremente en uno de los seis huecos, lo que nos da un total de $6^3$ configuraciones. Para cada una de ellas, podemos permutar las $H$ y permutar las $A$ libremente, lo que nos da un total de $5!\cdot 7!$ casos posibles por cada una de las $6^3$ configuraciones. La probabilidad que buscamos es, por lo tanto, \[\frac{6^3\cdot 5!\cdot 7!}{12!}=\frac{3}{11}.\]