Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Llamamos $a=\sqrt[3]{1729-x}$ y $b=\sqrt[3]{x}$, luego podemos reescribir esa ecuación como el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}a+b=19\\a^3+b^3=1729.\end{array}\right.\] Factorizando $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, obtenemos que $a^2-ab+b^2=\frac{1729}{19}=91$. Restando a esta última expresión $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2=361$, llegamos a que $-3ab=91-361=-270$, de donde $ab=90$. Tenemos, entonces que $a+b=19$ y $ab=90$, lo que nos dice que $a$ y $b$ son las soluciones de la ecuación $t^2-19t+90=0$. Usando la fórmula de la ecuación de segundo grado, se llega fácilmente a que $(a,b)=(9,10)$ o $(a,b)=(10,9)$. Como $x=b^3$, tenemos las posibles soluciones $x=1000$ y $x=729$ y se comprueba fácilmente que ambas efectivamente verifican la ecuación.